Детская психология
 

Отрасли        психологии


RSS Настроить


ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ
                  ДЛЯ АСПИРАНТОВ





Моделирование при решении учебных текстовых задач (на материале курса математики в начальной школе)

Диссертант: Студенова Тамара Юрьевна
Год защиты: 1994
Ученая степень: кандидат психологических наук
Научный руководитель: Гамезо Михаил Викторвич
Ведущее учреждение: Московский педагогический государственный университет
Место выполнения: Московский государственный открытый педагогический институт
Оппоненты: Веракса Н.Е., Герасимова В.С.
Добавить в закладки
Версия для печати
Отправить на e-mail
Студенова Тамара Юрьевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ УЧЕБНЫХ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

на материале курса математики в начальной школе

Моделирование существует также давно, как и мышление, и также давно сопровождает процессы учения. Но как метод обучения моделирование стало осознаваться сравнительно недавно, научное понятие модели и моделирования ещё недостаточно проникло в методику преподавания математики в школе. Пока еще не уяснены некоторые методологические положения, имеются расхождения в трактовке и понимании ряда философских вопросов, что, в свою очередь, задерживает проникновение метода моделирования в школу.

Поэтому, рассматривая вопросы моделирования при решении учебных текстовых задач, мы сочли необходимым обратиться не только к вопросам интерпретации знаковых моделей и формирования понятий, входящих в структуру каждой учебной задачи, но и к некоторым вопросам общей теории моделирования с философских, психосемиотических и психолого-педагогических позиций с тем, чтобы применить результаты этого теоретического анализа к сфере нашего исследования - обучения математике детей в начальных классах средней школы.

Несмотря на значительное количество исследований, посвящённых вопросам моделирования при обучении математике, все они относятся к области экспериментальных методик. В практике обучения метод моделирования как отдельная учебная задача ее применяется. И это положение будет оставаться до тех пор, пока имеется молчаливое согласие с господствующими установками в отношении интерпретируемости математического знака и первостепенного значения дедуктивных рассуждений в решении задач,

В самом деле, зачем нужно моделирование при интерпретации знаковых моделей, да и сама интерпретация, если, при существующем распространённом мнении, "математика - абстрактная наука, и некоторые вещи дети должны просто принять и запомнить?" Зачем нужно моделирование при решении задач, если ход решения зависит от выстраивания цепочки рассуждений от вопроса задачи?

На эти два вопроса современные исследования не отвечают, более того, эти вопроси даже не ставятся, не рассматриваются и не подвергаются сомнению.

Актуальность исследования - необходимость разработки некоторых прикладных педагогических вопросов общей теории моделирования и психосемиотики, а также психолого-педагогических проблем, разрешаемых при помощи моделирования в процессе обучения, в частности, при формировании понятий, интерпретации знаковых математических моделей и решении учебных текстовых задач младшими школьниками.

Предмет исследования - вопросы теории моделирования и психосемантические проблемы, связанные с процессом моделирования.

Объект исследования - учебная деятельность по интерпретации математических моделей в процессе обучения младших школьников,

Проблема исследования состоит в нахождении концептуальной основы и методологической установки в отношении интерпретируемости математической модели и знака я решении психолого-педагогических проблем, связанных с формированием математических понятий, в частности, с интерпретацией знаковых моделей при помощи моделирования на стадии овладения математическими знаками в контексте развития математического мышления вообще.

Цель исследования - построение моделей умственной деятельности в младшем школьном возрасте при формировании математических понятий, интерпретации знаковых моделей и решении учебных текстовых задач. Достижение этой цели предполагает решение следующих задач:

- выявить процессы моделирования при генетическом подходе к структуре понятия,

- теоретически обосновать и показать на примерах интерпретируемость математических моделей,

- определить этапы моделирования, характер моделей, их последовательность и закономерности их построения,

- выявить психолого-педагогические проблемы, возникавшие на разных этапах учебной деятельности по интерпретации знаковых моделей в начальных классах и показать пути их разрешения при помощи моделирования.

Рабочая гипотеза,

Процессы решения учебных текстовых задач и формирования математических понятий мы рассматриваем как процессы интерпретации, при которых происходит перевод объекта познания с одного уровня мышления на другой, более обобщённый. Главными условиям: осуществления такого перевода, на наш взгляд, являются :

- осознание и репрезентация объекта познания на исходном уровне; конечном этапе и самого процесса перевода, т.е. моделирование;

- поскольку возможность такого перевода заключается также в наличии у моделей одинаковых логических структур, то вторым основным условием интерпретации является опознание главного отношения-инварианта.

Поэтому главным, определявшим условием успешного формирования понятия, обучения умению решать задачи в начальных классах является моделирование с целью опознания главного отношения из варианта и последующего его перевода на другой уровень мышления.

Поскольку процесс интерпретации математических понятий повторяет в сокращённом виде путь общечеловеческого познания в его исторической развитии, то и модель умственных действий мы выстраиваем соответственно модели процесса становления общечеловеческого познания /М.В. Гамезо и др.,1977 / и конкретизируем каждый этап моделью становления познания в онтогенезе. В результате модель умственной деятельности имеет сложную структуру, состоящую из двух параллельно идущих моделей становления познания в фило - и онтогенезе, представленных, в свою очередь, цепочками моделей, соответствующих этапам познания.

Выпадение какой-либо модели из этих цепочек допустимо лишь в том случае, если эта модель была сформирована в прежнем опыте и занимает своё "законное" место в структуре данного понятия или процесса решения задачи. В противном же случае логический ход мыслей останавливается, задача не решается, понятие иди не формируется, или формируется неполноценно.

В основу задачи положено отношение-инвариант. Бели задача не в одно действие, то количество отношений соответственно увеличивается. Благодаря моделированию становится возможным опознание инварианта, от которого зависит логический вывод и последующий ход решения задачи,

Методы нашего исследования включали:

- изучение философской и психологической литературы по моделированию;

- теоретический анализ состояния научных знаний о математическом языке по вопросу его интерпретируемости и психосемиотических проблем при восприятии и переработке математической информации;

- психологический анализ учебников по математике для начальных классов и учебно-методических принципов и рекомендаций;

- применение этих теоретических положений на практике в течение многих лет работы в начальных классах общеобразовательной школы. Методологической основой исследования явились:

- теоретические положения о модели и моделировании, изложенные в работах В.А. Игоффа, А.В. Славина, М. Вартофского - с философских позиций, М.В. Гамезо, Б.С. Ломова, В.Ф. Рубахина - с позиций психосемиотики;

- теория - поэтапного формирования умственных действий в свете работ П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной, Л.Ф. Обуховой и др.;

- идеи исследований Ж. Пиаже и его сотрудников - В. Инельдер, З. Синклер и др., а так же М. Доналдсон;

- концепция учебной деятельности Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и др., отраженная в ряде публикаций;

- психолого-педагогические принципы обучения математике, освещённые в трудах Л.Д. Кудрявцева, Л.М. Фридмана, Г. Фройденталя и др.;

- теория и практика моделирования при решении учебных текстовых задач в свете исследований Л.М. Фридмана, Е.М. Семёнова, В.С. Герасимовой, Я.М. Эрдниева и др.

Научная новизна и теоретическая значимость.

Наш подход к обучению математике принципиально отличается от традиционного по главному вопросу о соотношении логики и математики с предметной действительностью. И логические, и математические модели мы связываем с предметной областью, в то время как традиционное объяснение строится в основном на логической схеме рассуждений. Отсюда проистекают различия в интерпретации и объяснении и знаковых математических моделей, и понятий, и задач. Моделирование выступает как средство реализации такого подхода.

Признавая видающуюся роль в развитии психологической теории обучения исследований В.В. Давыдова, П.Я. Гальперина и их многочисленных сотрудников и последователей, и: всё же считаем необходимым подчеркнуть отличие нашей позиции, реализованной в данном исследовании, психосемиотической по своей сути. Из всех компонентов учебной деятельности мы рассматриваем только процессы интерпретации, оставляя в стороне, такие аспекты деятельности, как мотивация, контроль, оценка и пр. В результате мы имеем сам предмет исследования иной и другие этапы умственной деятельности.

Т.о., научная новизна нашего исследования в общем, виде состоит в психосемиотической подходе к вопросам интерпретации математических моделей в начальной школе. Конкретно это вырезается в следующем.

1.Выдвинуто и теоретически обосновано положение о принципиальной интерпретируемости математической модели, благодаря наличию подтекста - знании, накопленном человечеством и хранящем информацию об исторических ступенях познания.

2.Предложена классификация математических моделей 2-го уровня абстракции в зависимости от их функции в математическом языке, отношения к пространству и времени и способности отражать данный фрагмент действительности или мыслительные процессы субъекта

3.Вопреки сложившемуся мнению, что ход решения задачи зависит от логического вывода, мы утверждаем, что он зависит, в первую очередь, от опознания инварианта задачи, а логический вывод возникает только на основе этого осознания. Традиционный дедуктивный логический метод рассуждений не приводит к опознанию инварианта, оно достигается при помощи текстового и образно-графического моделирования.

Эти рассуждения могли бы остаться на уровне Нормального теоретизирования, если не показать инвариант не только с известной его словесно-логической стороны, но и со стороны обобщённой конкретики. Благодаря моделированию были найдены инварианты задач в виде образно-графических моделей и показано, как соотносятся эти модели с другими моделями-схемами - текстовыми, логическими, математическими.

В составных задачах количеству отношений соответствует такое же количество идеализированных образных моделей, составляющих предметный фундамент для построения логической цепочки рассуждений. К моменту появления в учебном процессе составных задач при правильном обучении школьник имеет весь необходимый набор этих моделей в свёрнутом виде.

Чтобы выявить инвариант задачи, мы рассматриваем только одно отношение, поэтому наша область исследования в основном ограничена самыми простейшими задачами в одно действие, а ещё точнее, нас интересует путь от реальной ситуации до появления знаковой математической модели и моменты блокирования мысли ребёнка на этом пути, в отличие от авторов, интересующимися связями между отношениями задачи /Л.М. Фридман, ср.шк.,1983,Е.М.Семёнов, мл. кл.,1963,Ф.Г. Боданский,1969 и др./ Т.о., наш психологический анализ процесса решения задачи отличаете" от других работ в этой области самим предметом исследования и, соответственно, другими этапами умственной деятельности.

Скорее, наш подход согласуется с подходом В.С. Герасимовой, также находящемся в русле психосемиотики, при котором моделирование трактуется как переход с одного уровня, сознавая на другой, более обобщённый /В.С. Герасимова,1977 /.Но то обстоятельство, что объектом нашего исследования являются младшие школьники, обязывает нас найти некоторые дополнительные модели, находящиеся у 5-7-классников в сформированном, свёрнутом состоянии.

Моделирование при решении учебных текстовых задач описано многими авторами, но в них моделирование выступает как метод дополнительный к существующему ныне словесно-логическому дедуктивному методу. У нас же моделированию выступает как необходимое средство опознания инварианта задачи и вытесняет господствующий традиционный подход.

4.Рассматривая задачу в одно действие, т.е. одно отношение как логическую модель с трёхзвенной структурой, мы впервые вводим деление данной ситуации на 3 пространственно-временных плана /пространственные и временные ситуации/ и благодаря такому делению находим образно-графическую модель-инвариант, являющуюся ключом к решению задачи.

5.Впервые также порождение и прочтение текста задачи с последующим её решением мы рассматриваем как знаковое общение, актуализированную социальную связь с возможным, неудачным общением /по М. Доналдсон/ или псевдо -, квазиобщением /по Т.М. Дридзе/.Появляющиеся в результате такого неудачного общения задачи, классифицируем на задачи с неопределённой ситуацией и задачи с неопределёнными объектами. Показываем пути разрешения психолого-педагогических проблем при помощи дополнительного моделирования с целью выявления в первом случае структур- ситуации, а во втором - структуры объекта.

Практическая значимость исследования в определении путей формирования понятий при помощи моделирования, интерпретации и объяснения знаковых математических моделей и успешного обучения умению решать задачи в начальной школе, что позволяет обновлять и совершенствовать курсы педагогической психологии для учителей в пединститутах и педучилищах связи с пересмотром основания классификации задач предлагаются некоторые изменения в их делении на типы, разработаны и предлагаются к практическому применению некоторые модели понятий, таблицу типов /инвариантов/ задач, представленных в виде моделей - текстовых, образно-графических и геометрических, - материалы, позволяющие совершенствовать методику общения начальной математике,

Основные положения, выносимые на защиту.

1.Умственные действия по формированию математического понятия и решению задачи, соответствующие их содержанию, составляют интерпретацию, которая осуществляется при помощи моделирования. Материалом для такой интерпретации является подтекст и информация, накопленная человечеством в процессе исторического развития сознания. Т.о., интерпретируемость математической модели в ее словесно-логической форме, знаково-математической и задачной зависит от наличия в сознании ученика такого подтекста, преобразованного в модель. Поэтому главным и необходимым условием формирования полноценного понятия, обучения умению решать задачи в младших классах считаем построение моделей умственных действий в соответствии с моделями становления познания в фило - и онтогенезе.

2.Учитывая, что математические модели не одинаковы в своей способности отражать действительность, и интерпретируемость модели зависит от её вида, мы предлагаем классификацию математических моделей 2-го уровня абстракции. Основаниями такой классификации служат: функция модели в математическом языке, способность отражать или внешнюю действительность, или процессы мышления субъекта, а также отношение модели к пространству и времени.

3.Поскольку интерпретацию математических понятий мы понимаем как процесс, при котором происходит перевод объекта познания с одного уровня мышления на другой, более обобщённый, то и моделирование при формировании понятия в его словесно-логической или знаково-математической модификации и при решении задач мы рассматриваем как средство такого перевода. При некорректно поставленной задаче или несформированности понятия, входящего в структуру задачи, необходимо дополнительное моделирование для раскрытия структуры понятия, ситуации и объекта.

4.Поскольку перевод объекта познания с одного уровня мышления на, другой возможен лишь при одинаковых логических структурах этих моделей и наличии общего главного отношения, то необходимым условием интерпретации является также опознание главного отношения - инварианта. От опознания инварианта зависит, в частности, и ход решения задачи. Задачу в одно действие мы рассматриваем как логическую модель с трёхзвенной структурой, соответственно и задачную ситуацию мы делим на 3 пространственно - временных плана и, благодаря такому членению ситуации, выходим на образно-графическую модель инварианта.

Апробация работы

Материалы исследования по мере их получения использовались в практике собственной работы в качестве учителя начальных классов школ г. Москвы - Ш 147,28,50,учителей-смежников и других учителей начальных классов. Материалы диссертационного исследования обсуждались на методических объединениях школы №50 г. Москвы с участием учителей математики, начальной школы и методистов Института усовершенствования учителей. Диссертация обсуждалась на заседаниях кафедры психологии МГОПИ /1968,1989 / и на научных конференциях МГПИ /1990,1992 /.

Структура и объём работа

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, библиографии и приложений.

Во введении обосновывается актуальность исследований, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, определяются цели и задачи, гипотеза, методы исследования, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются некоторые вопросы теории моделирования как предмета семиотического и психолого-педагогического анализа в интересах решения учебных задач в начальной школе.

Отвечая на вопрос, в чём отличие модели как формы мышления от модели как средства познания, отметим такое качество модельного отношения, как триадичность /субъект- объект- модель - М. Вартофский 1968 /.Когда мы говорим о моделях, то подразумеваем произвольные модели, выступающие как осознанное средство познания. Отсутствие метода моделирования в учебной деятельности, или неосознанное его применение, означает в той или иной степени стихийность процессов умственной деятельности.

Поскольку модель способна замещать объект исследования так, что её изучение даёт нам новую информацию об этом объекте, то отсюда ясно, что модель может быть средством интерпретации. А поскольку модель является промежуточным звеном между теорией и действительностью, то она может быть средством интерпретации в двух противоположных направлениях: и в сторону конкретизации, и в сторону формализации,

В основе моделирования как средства познания лежит способность понимать одно явление через другое, а это значит, что можно объяснить при помощи моделирования сложное через простое, непривычное через привычное, ненаглядное через наглядное и т.д. В трудах А.В. Славина с философских позиций, В.В. Давыдова, Л.М. Вридмана - с психолого-педагогических, наглядность понимается в широком смысле, а принцип моделирования - как развитие и обобщение принципа наглядности, его высшей ступенью. Развивая ату мысль, выходим на новое понимание принципа наглядности, заключающееся в следующем.

Как в развитии познавательной деятельности можно выделить ступени познания /предметно- материальную идеализированную и знаковую/, так, видимо, надо различать и разные уровни наглядности: от наглядности восприятия вещественных моделей /предметная наглядность/ через наглядность в схемах – чертежах /структурная наглядность/ к наглядности математических моделей /сущностная наглядность/.-

Таким образом, модель в принципе всегда наглядна, но поскольку она связана с оригиналом /модель - чего?/ но говорить о наглядности в данном, определённо, случае, можно только в связи с содержанием учебного материала, т.е. учитывая цель и средстве её построения. Учитывая важность и необходимость ость такого соответствия, Л.М. Фридман рассматривает модельное соотношение как 4-хместное: субъект- объект – цель - модель. Развивая эту мысль, можно определить наглядность как отношение модели к цели и средствам её построения.

Итак, в одном случае при объяснении учебного материала наглядна одна модель, в другом - другая. Но в каждой модели уже заложены возможности построения другой модели на её основе. Тогда объяснение может быть представлено, и чаще всего так и бывает, цепочкой моделей, где все модели объединены главным изоморфным отношением. Таким же объяснением, составленным из цепочки моделей, оказывается в нашем исследовании интерпретация математических моделей в их различных видах - в словесно-логической форме, знаково-математической и задачной. В этом случае наглядность выступает как свойство, позволяющее переходить от одной модели к другой, от одного уровня мышления к другому.

Потребовались столетия для перехода человеческого сознания с одного уровня на другой, более обобщённый, и каждый раз такой переход в отношении какого-либо явления действительности воспринимался как открытие. Отсюда ясно, что владение методом моделирования превращает учебный процесс не только в осмысленный, руководимый, но и творческий. Говоря языком теории моделирования, открытие - это новая модельная информация о давно известном явлении. Или: новая информация, которую даёт модель, заключается в предъявлении или показе данного отношения новыми средствами, т.е. - в модельной характеристике данного отношения.

Цель построения модели реализуется в её выводе. Вывод - это сознательно построенная модель, её завершённый вид. Это может быть предметная ситуация, чертёж-схема, числовая или буквенная модель. Но поскольку в отношении одного и того же явления действительности можно делать вывода, относящиеся к различным ступеням познания, то отсюда ясно, что данное понятие может иметь разные модельные варианты: предметно-действенный вывод, структурный. Совершенно ясно, что объяснение может получиться и ненаглядным, когда некоторые элементы и связи, необходимые для вывода, останутся скрытны. Тогда мышление так и останется, скажем, на предметном уровне, в то время как надо вывести его на знаковый, например, при решении задачи. Проиллюстрируем эти положения.

Задача 4 /5/ класса, в которой надо узнать длину пути, а дана длина окружности колеса поезда и количество оборотов.

Вроде бы ситуация понятна детям, а задача не решается. Начинаем объяснять и вдруг замечаем, что уже вторглись в другой уровень, что житейские, бытовые объекты идеализировались и превратились в обобщённые величины: колесо - в окружность, а железнодорожный путь – в сумму отрезков. Всем известная связь между колесом и дорогой превратилась в отношение между обобщёнными величинами - отношение соединения. Но это отношение нельзя было понять без представления того, как окружность размыкается, вытягивается в отрезок и ложится на линию, изображающую путь:

Это представление является кульминационным, остаётся представить, что это накладывание отрезка на линию происходит еще и ещё раз. Теперь инвариант задачи /сумма/ опознан, остаётся перевести элементы и отношения структурные на математический язык.

К каким не выводам в данной задаче можно придти, находясь на разных этапах моделирования.

I/ Имея объекты - поезд с колёсами, железную дорогу и отношения между ними, всем известные, мы можем сделать только один вывод, что можно сесть и поехать. И при чём тут окружность колеса и как узнать протяжённость дороги?

2/ Имея объекты - окружность, превращающуюся в отрезок, прямую линию, мы делаем вывод, что дорога - прямая линия есть сумма этих отрезков. И это уже близко к математическому выводу;

3/ Имея числовые значения - этого отрезка и количества этих отрезков, мы делаем вывод - вычисляем сумму отрезков.

Мы привыкли считать выводом логическое заключение. Но с т. зр. моделирования каждая модель строится ради вывода, и он будет выражен тени же средствами, что и модель. Поэтому логическое заключение это цель и вывод логической модели, в остальных же моделях логика присутствует как средство. Можно сказать, что в данной задаче мы имеем 3 вывода: логико-бытовой, логико-идеализированный и логико-математический.

Путь к математическому выводу лечит через образно-графический /структурный/. Выпадение образно-графической модели блокирует мысль ученика и делает задачу для него бессмысленной и нарушаемой. В тексте этих знаний нет, ученик их должен добыть сам, "догадаться". В Мексике с её древней цивилизацией колесо не было изобретено, а мы хотим, чтобы ученик додумался до принципа когда в считанные минут на уроке математики. К тому же эта догадка" совсем не математического свойства: открытие заключалось в размыкании окружности и переводе её в отрезок пути, его в данной задаче, а в жизни - его открытие одного из принципов преодоления пространства. Отрезок являлся скрытым элементом в объект задачи - колесе. Соответственно и отношение - инвариант, на котором построена задача, было скрытым.

Объяснение без показа этого скрытого элемента в объекте можно с полным правом назвать ненаглядным, т.к. оно не даёт перевода отношения на другой уровень. Возможен и датой вариант ненаглядного объяснения, когда, пропустив необходимые этапы, не осуществив процесс построения знаковой модели, она даётся явочным порядком, что и произошло в начальной школе при введении алгебраических моделей в 1-м классе в 80-е годы. Здесь скрыты, на наш взгляд, главные причины формирования неполноценных понятий и нерешаемости задач.

2-я глава посвящается проблеме формирования математических понятий, в том числе и знаковых моделей. Рассматривается вопрос интерпретируемости математического знака и модели, предлагается классификация моделей и анализируется процесс интерпретации знаковой модели при помощи моделирования.

Такие понятия, как сумма, сравнение, деление и пр., входят в задачу в виде её основания, инварианта. Совершенно ясно, что неусвоенность этих понятий заблокирует процесс решения задачи, а их формирование требует длительного времени и психолого-педагогического мастерства.

При формировании какого-либо понятия каждый раз нужно решать вопрос: как связать моделирование со структурой этого знания? Модель становления общечеловеческого познания осознана и представлена в психолого-семиотической литературе /М.В.Гамезо,1977/.Принимая за основу эту схему и разделив планы действий на материальные и идеальные /по В.А. Шгоффу,19бб/, а также считая существенно важной идею экстериоризации, отражаем в нашей модели равновесный процесс интериоризации-экстериоризации. Взглянув на весь процесс с т. зр. умственного освоения пространства, усматриваем следующие 3 этапа в развитии познания: освоение действий в 3-хмерном,2-хмерном и 1-мерном пространстве /знаковые модели 2-го уровня абстракции располагаются линейно, образу я цепи/.

Теперь, имея модель-оригинал /с.13/,будем строить модель умственных действий при формировании понятия, например, "разностное сравнение". Первый этап, материально - предметный, описывать нет необходимости, он хорошо освещён в нашей литературе /Д.Б. Эльконин. В.В. Давыдов и др.,1969,П.Я.Гальперкн и др.,1908,исследования проводились в 1965 - 66гг./,где описывается сравнение объектов по определённому свойству, по разным свойствам, производимое непосредственно и опосредованно, при помощи третьего объекта - мерки.

Мы видим, что один этап, материально - предметный, содержит в себе также различные ступени, т.е. он конкретизируется моделью становления познания в онтогенезе.

Модель становления человеческого познания

В вышеприведённых исследованиях формирование понятия сравнен! прослеживается на одном этапе материально - предметном, т.к. всё внимание исследователей направлено на исходные формы становления понятия, его истоки. Но чтобы успешно решать задачи на сравнение, нужен перевод этого отношения на 2-й уровень, идеализированный. Для этого обратимся к периоду дошкольного детства.

Благодаря исследованиям многих, психологов, мы знаем, что в данной области имеется феномен: дети не справляются со стандартными тестами на сохранение. Анализируя результаты этих экспериментов, делаем вывод, что у детей нет ещё структурного подхода, он не сформировался к этому возрасту. Поэтому и операция по включении величин находится на доструктурном уровне. Учитывая эти моменты, выстраиваем структуру понятия "сравнение величин:

СРАВНЕНИЕ

1) - по занимаемому пространству,

2) - по элементному соотношению,

3) - по включению величин.

Выстраиваем модели умственных действий соответственно структуре понятия:

Задачи

Обр.-граф. модели

Д. - 6 слив

Н. - на 4 с.< | ?

 или

 

4 книги и на 3 больше

 

 

5 винтовок и 7 солдат

 

 

Соответствие моделей - структуры понятия и структуры умственных действий - выполнении всех правил построения:

I/ - видно, какая величина занимает больше или меньше пространства,

2/ - видно поэлементное соотношение,

3/ - видно включение величин - разные количества отделены чертой.

Структурное, поэлементное соотношение является той ступенью, которая даёт сдвиг в мышлении на новый уровень.

Так от задачи к задаче, всё первое полугодие, формируем мы данное понятие, т.к. у детей, поступающих в первый класс, структурной Подход при сравнении каких-либо множеств ещё не сформирован. То обстоятельство, что задачи служат средством становления данного понятия эта уже другой вопрос - о своевременности таких задач в первом полугодии первого класса, или хотя бы вопрос о выделении времени на усвоение этого понятия за рамками задачи.

По традиционной методике задачи на сравнение должны решаться при опоре на словесно-логические Формулировки "столько же и ещё", "меньше, значит отнять" и др., и задачи, действительно формально решаются, но до того момента пока это понятие не выступит в новом виде. Так, в 1-м же классе дети вдруг останавливаются при встрече с задачей в которой надо узнать глубину второго колодца, на 3 м меньшей Глубины первого колодца, равной 7м. Дети сами, конечно же, не в состоянии перевести объекты - колодцы на идеализированный уровень, вычленить, абстрагируясь от объёма, высоты получившихся геометрических фигур и обозначить элементы объектов сравнения - метры на выделенных прямых линиях:

Но учительница, также, как и составители этой задачи не подозревает об этих проблемах, она быстро выводит ласе из состояния оцепенения: "Да что ж тут непонятного? Ведь сказано же "на 3 метра меньше, а раз меньше, то значит..." - "Отнять!" - хором заканчивает класс. В результате такого объяснения - структурное отношение сравнения может остаться несформированным и в 3-м, и даже в 4-м/5/ классе.

Продлённая группа, составленная из учеников 3-х классов. Задача про ульи с мёдом. Дети не могут ответить на вопрос "на сколько мёда больше... "Что же не действует формулировка, которая помогала в течение предыдущих лет? - Появились "тягучие" килограммы, и впервые дети почувствовали абсурдность вычитая мёда одной пасеки из мёда другой пасеки. Задачу 1-го класса, в которой надо узнать, на сколько колец больше, чем шляп, решили быстро, но на вопрос: "Как же ты из 6 колец отнимаешь 4 шляпы?" не ответили ни ученики с 1-го по 4 -и кл., ни их учителя. Этот этап структуры понятия - включение величин - не осмыслен логически, т.к. не был выделен и представлен образно-графи-1ески. А раз ученики делают то, что до конца не понимают, то не логическое мышление у них развивается, а умение оперировать понятиями - полуфабрикатами.

То объяснение понятия сравнения при помощи одной модели, словесно - логической, оказалось ненаглядным, и его отрицательные последствия рассматриваются в средней школе. В 4-м/5/классе не решается вся серия задач, в которых благодаря операции сравнения абстрактные части переводятся в килограммы, годе и т.д. Вот одна из таких задач: "Бронза содержит по массе 41 часть меди,8 частей олова и I часть цинка. Какова масса куска бронзы, если в ней олова меньше, чем меди на 132 грамма?"

Пятиклассники были склонны сразу же складывать все части, игнорируя отношение сравнения. И вся ситуация сравнения, и самый трудный момент в понимании - что 33 части равны 132 граммам, раскрылись при помощи образно-графической /геометрической/ модели:

Сами учащиеся построить такую модель не могли, их этому не учили. Две-три задачи, решённые при помощи таких моделей, сдвинули этот класс с "мёртвой точки"; подобные задачи стали решаться быстро и с удовольствием.

Казалось бы, логическое мышление должно развиваться при оперировании логическими рассуждениями, но, как мы видим, это возможно лишь после обобщения конкретных ситуаций, представленных предметно и образно - графически при помощи моделирования.

Мы привели здесь один пример, на котором показали необходимость моделирования при образовании понятия и сам процесс моделирования. Проанализировав, таким образом, и практически апробировав строение некоторые других понятий, мы пришли к выводам:

1.Для построения модели умственных действий по овладению понятием необходимо обратиться к модели становления человеческого познания и соотнести её с онтогенезом сознания.

З. Рассматривая случаи, когда понятия неполноценно сформированы, обнаруживаем, что примеры, включающие эти понятия, в основном решаются, а задачи - нет. Дело в том, что, решая пример, ученик руководствуется правилами вычисления, алгоритмом, и структура понятия при этом является информационным шумом, а чтобы решить задачу, нужно наличие в сознании решающего структуры понятия. В примере ученику же даётся знаковая модель в готовом виде, а в задаче такую модель ещё предстоит вывести из предметной ситуации.

З. Традиционный подход к образованию понятий, опирающийся в основном на словесно-логический метод, при котором даются формально заучиваемые правила без интерпретации и объяснения, без прохождения предметно-действенных и образно-графических форм умственных действий, не обеспечивает формирование полноценных понятий. Такие понятия можно с полным правом назвать непромоделированными.

4. В результате, несмотря на то, что содержание обучения в своей основе десятилетиями не меняется, и понятия из года в год проходятся одни и те же, их структура не раскрыта ещё до конца. Некоторое модели понятий и модели их объяснений мы предлагаем /числовая модель, алгебраическая, деление, число 0 и др./, оставляя их открытыми и не претендуя на окончательное решение этой проблемы.

Понятия могут выступать в виде разных моделей, в том числе и знаковых. В наше время широкое распространение полнило признание формального характера математического языка. Абстрактность математического знака общеизвестна. Но неясно, в чём заключается его связь с действительностью, кроме того, что эта связь не прямая, а опосредованная. Известно, что "математика абстрагируется от специфической, качественной определённости изучаемого предмета и учитывает лишь количественную его, сторону" /Б.М.Кедров,1983 /, или что "математическое обозначение имеет своим предметом те или иные системы бескачественных отношений при условии однородности, неизменности и неподвижности, как самих этих отношений, так и составляющих их элементов" /А.Ф. Лосев, 1963/.Устарелое определение математики как науки, "в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения" /Сов. энц. ел. ,1984 /,не отражает связь математического знака с действительностью, тогда как определение должно быть операциональным. Одно слово - "модель" вобрало бы в себя и абстрактность знака, и его связь с действительностью.

И такое мнение высказывается уже многими математиками: "Как чистая, так и прикладная математика изучает математические структуры, только в чистой математике они изучаются сами по себе, а в прикладной они, во-первых, являются моделями реальных явлений, а во-вторых, целью изучения в том случае является изучение реальных явлений, которые они моделируют"/ Л.Д. Кудрявцев, 1965 /.

Также и упрёк в "неподвижности и неизменности" можно отвести с позиции семиотики: "В знаке фиксируются обобщения и абстракции, выработанные не отдельном человеком, а обществом"/ М.В.Гамезо,1977 /,и чтобы усвоение этих знаний стало возможным, необходимо закрепление значений - символизация. И всё-таки остаётся нерешенным один вопрос: куда "девается" то, от чего математика абстрагируется, например, каче-гтЕС1шая определённость изучаемого объекта?

Попробуем рассуждать как можно проще. От нас требуется эмпирическая интерпретация, т.е. нахождение предметного содержания знаков /конкретного воплощения /. Если этого содержания нет, то и интерпретация невозможна: нельзя достать то, чего нет. То, что встаёт вопрос: как математический знак, абстрагируясь от действительности, оставляет эту связь с ней?

Остаётся предположить, что математические знаки и модели имеют подтекст в виде информации, накопленной человечеством в процессе исторического развития сознания. Сюда входят все дознаковые ступени познания: предметные, идеализированные, как в материальном, так и в идеальном виде.

При таком подходе требуется дополнить и само понятие "абстрагирование". Абстрагирование - это не только "выделение существенных свойств и связей предмета и отвлечение от других частных его свойств и связей"/ Этн. словарь, 1964 /,но и хранение в памяти, в данном подтексте знака Т модели, несущественных, второстепенных свойств. Тогда: объяснение будет заключаться, прежде всего, в открытии или актуа-Л5:~ации подтекста.

Это первое наше положение, на которое мы опираемся, доказывая интерпретируемость математического знака. Второе основание - это известная мысль о разных ступенях абстракции /Д, П. Горский, 1961, В.А. Шгофф,196б/ .Сделаем предположение, что математические знаки и модели, выполняя различные функции в математическом языке, находясь в разных модификациях, имеют и разные уровни абстракции: абстрактное понятие абстрактный предмет и идеализированный объект.

- Идеализированные объекты это те, которые находятся на 1-м уровне абстракции, например, изучаемые геометрией. Остальные математические модели, находящиеся на 2-м уровне абстракции, мы предлагаем классифицировать на модель-ситуацию и модель-вычисление. Основанием для такой классификации служит их возможность или способность отражать действительность или процессы мышления, а также отношение модели к пространству и времени. Их можно было бы также назвать: "модель-определение и модель оперативная", "статическая и динамическая", "симметричная и асимметричная", но применительно к нашей области исследования нам удобнее остановиться на названиях модель-ситуация и модель-вычисление".

Интерпретация числовых /арифметических/ моделей известна в школе под названием "знакомство с числом". К этим, всем знакомым действиям" с палочками и другими предметами, т.е. к предметному моделированию, мы рекомендуем добавить образно - графические модели инвариантов. Интерпретация буквенных /алгебраических/ моделей в нашем исследовании показана при помощи предметно-идеальных моделей, т.к. образно-графические модели можно найти в нашей литературе /Г.Г. Микулина, Г.И. Минская, Ф.Г. Боданский,1969/.Рассмотрев образование математических моделей и их интерпретацию, мы пришли к следующим выводам:

1.Математические модели 2-го уровня абстракции соответственно своим целям построения и своим функциям в математическом языке имеют 2 основные модификации: модель-ситуация и модель - вычисление.

2.Модели-ситуации являются абстрактными понятиями, они способны отражать конкретную ситуацию /явление, закон природа/, элементы этих моделей организованы в пространстве.

3.Модели-вычисления являются абстрактными предметами, не отражающими данный фрагмент действительности, они способны отражать мыслительные процессы субъекта их элементы упорядочиваются во времени и строятся по правилам вычисления /алгоритму/.

4.Знак сам по себе не может отражать данную конкретную ситуацию, как не может элемент модели/системы/ отражать всю модель/систему/. Он может соответствовать или объекту, или действию с объектами. Но знак легко преобразуется в модель со всеми вытекающими отсюда последствиями.

5.Классификация моделей на модель- ситуацию и модель - вычисление согласуется, по нашему мнению, с общепризнанным делением математики на чистую и прикладную, цели - выводы этих моделей соотносятся о целями этих областей математики.

6.В методике преподавания математики модель-ситуация не была выделена, она сливалась с вычислительной моделью, обе они мыслились как единое целое. Это одна из причин, по которой не был определён и путь её построения.

7.Для эмпирической интерпретации берём модель-ситуацию или знак, который тут же преобразуем в модель, и выстраиваем модель умственных действий соответствующую модели становления человеческого познания, сохраняя последовательность её этапов и конкретизируя каждый этап моделью становления познания в онтогенезе.

Проиллюстрируем эти положения.

Область прикл. матем.

Область чистой матем.

Область прикл. матем.

модели-ситуации алг .и обр.-граф.

модель-вычисление алгебр.

модели-ситуации алг. и обр. - граф.

(а + в)2=

(а + в) (а + в)= а2+ ав + ав + в2=

а2+2ав+в2=

3 глава представляет семиотический и психолого-педагогический анализ процесса решения учебных текстовых задач при помощи моделирования.

Процесс самостоятельного письменного решения задачи представляет из себя следующую цепочку моделей:

Рассматривая задачу только в одно действие и анализируя таким образом только одно отношение, мы ограничим наш поиск такими рамками: исходная текстовая - математическая модель №1/модель - ситуации. по следующим соображениям.

1. Вычислительные модели мы уже рассмотрели в предыдущей главе и установили, что они отражают мыслительные процессы ученика, а не предметную ситуацию, в то время как нас интересует перевод информации с предметного уровня на более обобщённые.

2. Можем ли мы утверждать, что процесс интерпретации имеет здесь место, видя его конечный пункт - вычислительную модель с её взводом-искомым числом, но не находя предметной ситуации, исходного пункта? Исходную текстовую модель обычно принимают за первую в этой цепочке моделей, но, поскольку задача - это "модель-описание заданной проблемной ситуации" /Л.М. Фридман, B.C. Герасимова/,то мы имеем соответствие двух систем, двух моделей, из которых исходная текстовая для составителя - N32,а для ученика - №1,т.к. он сначала читает текст, а потом воссоздаёт эту ситуацию. Ясно, что без такого представления ученик просто не погашал бы, о чём идёт речь. Таким образом, исходным пунктом процесса интерпретации при решении задач является подтекст исходной текстовой модели.

З. Важно, что путь к знаковому уровню начинается с данного фрагмента действительности, и этот путь наш уже пройден, когда мы интерпретировали знаково-математические модели. Разница в том, что теперь, в случае решения задач, на этом пути имеется текст, наличие которого влечёт за собой необходимость текстового моделирования и дополнительного образно-графического моделирования при некорректно поставленной задаче или включении в текст несформированных понятий /например, понятие сравнения/.

При философском подходе к решению любой задачи, это решение имеет следующие составные части: решение-процесс, решение-функция и решение-результат /М.С. Бургин, В.И.Кузнецов,1987 /.Применив этот подход к процессу решения учебной задачи, находим, что в нашем случае он распадается на два подпроцесса: №1,отражающий в“миниатюре область прикладной математики, и №2,соответствукхций области чистой математики. Решение-процесс №1 имеет целью - дать математическую характеристику ситуации и заканчивается математической моделью-ситуацией. Он имеет в своём составе, в свою очередь, 3 параллельно идущих процесса, каждый из которых заканчивается своим выводом: текстовый, образно-графическим и логическим. Решение-процесс №2 имеет цель - дать математическую характеристику главного отношения, положенного в основу задачи, имеет в своём составе только математические модели и заканчивается искомым числом.

Найдя математическое выражение предметной ситуации и ее главного отношения-инварианта, мы можем сказать, что математизировали данный фрагмент действительности. Поэтому при нашей подходе обучение умению решать задачи имеет целью, а сама задача является средством - математизации действительности.

Все модели, находящиеся в материальном плане на нашей схеме, могут с полным основанием пребывать и в идеальном плане, ведь всю задачу можно решить в уме, но это произойдёт тогда, когда эти модели будут находиться в сознании решающего в сформированное и свёрнутом виде. Учащиеся экспериментального класса в основной своей массе справились с этой проблемой уже к концу первого года обучена.

Рассмотрим исходную модель, дадим ей определение по целям и средствам её построения. Имея в виду, что цель построения модели реализуется в выводе-схеме и находя эти выводы - математический /искомое число/,логический /опорке слово - действие / и текстовый /краткое условие/ ,v имеем основание рассматривать исходную модель как текстово - логико-математическую. В этой синтетической подели мы не находим проекции образно-графического моделирования, что указывает на особую функцию этих моделей в процессе решения: они отражают подтекст /объектную область/. Т.о., всё моделирование будет протекать по двум направлениям, идущим параллельно:

- в отношении текста как формы изложения и средства донесения информации / текстово -логическое моделирование /

- и в отношении самой этой информации, т.е. той конкретной ситуации, которую этот текст описывает.

Работая с текстом, мы выделяем смысловые блоки, и в результате помимо членения текста на условие и вопрос, как предлагает методика, получаем более мелкие структурные единицы - 2 посылки и вопрос. Далее мы подчёркиваем опорные слова, объясняя их детям как противоположные по смыслу в задаче, и читаем сокращённый текст.

Мы предлагаем деление задачной ситуации на 3 пространственно - временных плана соответствующих трёхзвенной структуре задачи, которые мы рассматриваем как логическую модель. В тексте задачи имеются слова, несущие функцию расчленения ситуации на пространственные планы /сосна - тополь, куст - 2 куст, Саша - Миша /,и есть слова, делящие ситуацию на временные планы/. Были – отдали – осталось, было – ещё - стало/. Таковы наши критерии выбора опорных слов, помимо тех слов-признаков/ больше, меньше всего и др./.которым уделяемся внимание исследователей /П.М. Эрдниев,1977,Е.М. Семёнов,1963 /.

При переводе с разговорного языка на метаязык дети останавливаются перед набором значения слов. Проблема здесь состоит в многозначности бытового понятия. Но постепенно, в основном за первое полугодие, дети накапливают словарь такого перевода /старше, длиннее, выше - больше и т.д./. При переводе обобщающих слов на математический язык возникает проблема определения функционального значения слова в контексте задачи: меньше или больше - где, кому? Для этого надо видеть, куда направлено действие.

Именно действие расчленяет ситуацию. На предметном уровне оно выступает в виде действия-намерения/М.Доналдсон,1985/,на идеализированном - превращается в действие-направление, /которое в задачах движение обычно обозначается стрелкой/ и затем уже - в действие знаковое. Выбор действия знакового связан с выбором действия – направления. Покажем это на примерах:

- подарили ему - стало больше - прибавить

- подарил он - отдал - стало меньше - отнять

- дороже - это больше отданных денег, это больше, но это же и меньше ...

Итак, условием опознания инварианта в задаче направления является видение действия в ситуации, расчленённой на планы:

Нами разработаны и апробированы на практике таблиц типов задач, представленных в виде кратких условий, образно-графических моделей в геометрических определений инвариантов. Глядя в таблицы, ученики экспериментального класса сопоставляли инвариант с задачным вариантом данного отношения. Модели инвариантов служили также и ориентиром; в процессе обдумывания задач, т.к. необходимым компонентом в структуру цели входит, на наш взгляд, предвидение. Результатом такого, обучения явилось то, что модель умственных действий к концу первого года уже была сформирована, задачи решались быстро и самостоятельно.

Результаты контрольных работ постоянно показывали разрыв между контрольным и экспериментальным классами, но особенно он стал очевиден, когда дети перешли в среднюю школу. Вертикальный срез знаний, проведённый в 1988 году, вывел экспериментальный класс 4"Б" на первое место в школе по всем показателям.

Коротко о некорректно составленных задачах. В них нельзя выйти на инвариант задачи, не промоделировав дополнительно сам объект иле ситуацию. В этих случаях процесс решения задачи выходит за рамки ее структуры и вторгается в область её подструктуры. Примерами задач с неопределёнными объектами могут служить задачи с колодцами и - железной, дорогой, в которых объекты претерпевают следующие изменения: колодец - параллелепипед - прямая линия, колесо - окружность - отрезок.

Подведём итоги. Логические аксиомы - инварианты и их конкретное выражение в виде обобщённых моделей ситуаций накоплены в сознании ребёнка ещё в дошкольный период. А поскольку логический вывод, необходимый для решения задачи, уже сделан в дошкольном детстве, то проблема состоит не в том, чтобы его снова сделать, а в том, чтобы опознать. Что значит - решить задачу? Это значит: опознать её инвариант и найти его математическую характеристику. Т.о., отпадает проблема логически неверных рассуждений, а вместо неё выступает другая проблема - условие опознания инварианта задачи.

Так как опознание инварианта происходит при сопоставлении его с задачным вариантом и связано с процессом принятия ранения о классе, то определяющей операцией процесса опознания является выделение в объектах сличения существенных признаков в результате преобразования этих объектов в модели, поэтому главным условием опознания инварианта задачи мы считаем всестороннее моделирование - текстовое, логическое и образно - графическое, на той ступени обучения, когда эти модели ещё только формируются.

При современном обучении умению решать задачи перекрещиваются два пути: путь получения знаний вообще и путь рассуждений в данной задаче. Решение этой общей проблемы должно начинаться, на наш взгляд, с отделения логических рассуждений от их предметного фундамента, математических знаний - от доматематических.

Общие выводы и заключение.

Результатом проведённого многолетнего теоретического исследования /1980 - 1994 гг./ и практической работы в школе, начиная с 1958 года, явилась осознание и наметились цели разрешения, в сущности двух глобальных проблем:

В настоящее время в методике преподавания математики остаётся осознанной первостепенная роль дознаковых ступеней познания как фундамента, на котором строятся знания. Конкретно это выражается в представлениях о неинтерпретируемости математического знака, предпочтении всестороннему моделированию словесно-логического метода, в частности, дедуктивного, с игнорированием индуктивного, в оперирование несформированными понятиями.

Структура многих понятий остается пока ещё не раскрытой, соответственно; умственные действия по их освоению выстраиваются неполноценно пропущенными этапами.

Осуществив генетический подход к природе и сущности математических понятий, а также и освоению их в онтогенезе, теоретический анализ философских, психосемиотических и психолого-педагогических данных по проблеме исследования и опираясь на многолетний практический опыт обучения детей I-3 классов, мы пришли к заключению, что рабочая гипотеза, изложенная на с. 2 автореферата в общем, подтвердилась: изменить начальное обучение математике в школьных условиях целесообразно и возможно. Главным механизмом этой перестройки является моделирование математических понятий и всей познавательной учебной деятельности.

Доказательством достижения поставленных целей, явились результа-1т заключительных контрольных проверок, а также отзывы методистов, учителей - смежников и учителей средних и старших классов, продолжившиx обучение детей, прошедших нашу подготовку. Нельзя не отметить и того, что поиски подобного типа имеют место в опыте других учителей, и мы его по возможности учитывали.

Публикации:

- Актуальность психосемиотических знаний для повышения профессиональной подготовки студентов пединститута. Сб. "Актуальные проблемы преподавания психологии в пединституте и в школе". - М., МГПИ, 1990, 1с.

- Осознание семиотических закономерностей при изучении алгебраического материала в начальных классах. Сб. "Психологические условия повышения эффективности обучения в педвузе". М., МГОПИ,1992,7с.

- Моделирование при решении учебных текстовых задач /на материале курса математики в начальной школе/.- М.,42 с. - Рукопись деп. в РАО,



Сайт для практических психологов Practic.ChildPsy.ru Подписка на журналы по психологии на PsyJournals.ru

Сайт для практических психологов

Практический психолог – www.practic.childpsy.ru

Сайт предназначен для практических психологов, работающих в системе образования Москвы и посвящен основным направлениям деятельности практического психолога.

Портал психологических изданий - PsyJournals.ru

Открыта подписка на электронные версии журналов по психологии:

Полный каталог журналов и сборников конференций по психологии (26)

Арматура 16 цена

Товарные предложения, услуги, цены. Розничные и оптовые цены

investsnab.ru


Библиотека Диссертации Мероприятия Образование Новости
 
RSS-лентыEmail-подписка
 

© 2005–2013 Детская психология — www.Childspy.ru, Свидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС 77-38247
© 1997–2013 Московский Городской Психолого-Педагогический Университет
© 1997–2013 Факультет Психология образования
Любое использование, перепечатывание, копирование материалов портала производится с разрешения редакции

  Яндекс цитирования Яндекс.Метрика
Инновационный проект МГППУ - iop.mgppu.ru